História da Matemática na China

História da Matemática na China

          Na China, a matemática era vista como uma necessidade e utilidade. Era importante educar e construir um país com grande desenvolvimento, sendo a Arquitetura, o Comércio, as Financias e a Agrimensura as bases para este crescimento. Os chineses tinham um método para resolver sistema de equações lineares muito semelhante ao «Método de Gauss»; começaram a usar o número negativo mais cedo que todas as outras civilizações; no séc. V usavam 355/113  para π, valor atribuído a um matemático Métius no séc. XVI; pelo séc. VII já calculavam o volume da esfera usando o Princípio de Cavalieri (séc. XVII); No séc. XII, Yang Hui provou a fórmula que determina “a soma dos quadrados dos n primeiros números naturais por reunião de volumes”, a mesma descoberta surgiu no ocidente no 19.º século. O facto da matemática chinesa ter-se desenvolvido durante 3 milénios originou uma infinidade de aspetos com teor matemático, contudo nesta secção iremos destacar aqueles que entendemos serem os mais importantes.

Sistema numérico

       Os chineses foram umas das primeiras civilizações a entender que os cálculos num sistema decimal são mais simples e eficazes. Em 1500 anos a.C. tinham sistema com 5000 caracteres posicionais, mais tarde inventaram os cilindros de contagem. No séc. V a. C. já se efetuavam as quatro operações aritméticas recorrendo aos cilindros. Estes tinham duas cores, uma para representar os positivos, outra para representar os negativos.

        O sistema é bastante útil e prático, contudo tem as suas desvantagens, pois a verificação dos cálculos podia ser exaustiva e o trabalho com vários cilindros podia ser demorado. As operações são muito semelhantes às nossas, com a diferença de se realizarem da esquerda para a direita e de se considerar o algarismo de maior ordem na multiplicação.

Nove Capítulos sobre a arte da Matemática

      Antes do aparecimento da maior obra chinesa “Nove Capítulos sobre a arte da Matemática”, o povo chinês já tinha um raciocínio matemático avançado. No campo da Lógica eram discutidos e estudados paradoxos muito semelhantes aos de Zenão (séc. V a.C.), mas a área de maior interesse era a astronomia. Neste século surgiu um dos teoremas chineses mais conhecidos, o Teorema de Kou Ku/Gougu. Com o passar dos séculos, foram construídos manuais escolares com noções do campo da astronomia, da arquitetura, da engenharia, da aritmética e da geometria.

          Liu Hui (250 anos a.C.), um dos maiores matemáticos chineses, considerado o Euclides Chinês, fez comentários à obra Nove Capítulos sobre a arte da Matemática e reescreveu-a com alguns melhoramentos. Possivelmente, a obra original foi escrita antes de 400 anos a.C. e era constituída por uma mistura de conhecimentos de diferentes autores. A obra de Liu Hui está dividida em 9 capítulos, sendo o 1.º Capítulo sobre a Medição de Campos.

1.ºCapítulo

Este capítulo indica o processo simplificar, somar/subtrair e multiplicar/dividir frações. No caso da simplificação de frações, eles utilizavam o máximo divisor comum (m.d.c) usando subtrações sucessivas dos restos. Para somar ou subtrair eles colocavam todas as frações com o mesmo denominador fazendo o mínimo múltiplo comum (m.m.c.). Para multiplicar ou dividir calculavam o m.d.c. e procediam como nos dias de hoje. O mesmo tratamento nas operações com frações foi utilizado no século VII na India e no século XV na Europa. Ainda neste capítulo, Liu Hui dá uma aproximação de π baseada no limite, “se escrever um polígono de n lados, com n o maior número possível de lados, dentro de um círculo, então a área do círculo é igual à área do polígono”. Hui conseguiu mostrar que π=3,141024 , substituindo n por 192 na fórmula

onde ln  representa o comprimento do lado do polígono regular de n lados, r o raio de um circulo de comprimento 1 pé chinês e  a área do polígono regular de A_2n lados. Zu Chongzhi, 200 anos depois, enquadrou π entre 3,1415926 e 3,1415927. Este melhoramento foi alcançado mil anos mais tarde na Europa.

Do 2.º Capitulo ao 6º Capitulo

           Nestes capítulos são ensinadas as regras das proporções, o método da falsa posição ou regra três simples, o método da decomposição ou dissecação de uma figura para usar nos sólidos geométricos.

7.º e 8º Capítulos

        No 7º e 8º capítulo surgem as equações indeterminadas, as equações com várias incógnitas, a regra da dupla falsa posição, mais tarde aplicada pelos Árabes na Idade Média e por Fibonacci (séc. XIII), e o modo de operar com números negativos usando oscilindros de contagem. Esta visão e o conceito de operar foi utilizada na India, no séc. VII e na Europa, no séc. XVI. Uma equação com duas incógnitas era resolvida por um processo idêntico ao da regra de Cramer, ou seja, calculando o determinante de uma matriz. O cálculo de determinantes foi usado pelo japonês Seki Kowa e 10 anos mais tarde por Leibniz em 1693. O Método das tabelas era usado na resolução de equações com várias incógnitas na forma matricial e consiste na combinação linear de colunas para eliminar alguns elementos da equação e obter a solução. Esta invenção chinesa foi também descoberta pelo francês Buteo, em 1500.

9.º Capitulo

         No último capítulo são apresentados problemas envolvendo triângulos retângulos através de dois conceitos, “empilhar quadrados” e a função tangente. Hui pressagiou a utilização das razões trigonométricas e mostrou como resolver equações do 2ºgrau usando um método semelhante ao do babilónico.

          Este manual foi criado por Liu Hui no séc. VII e contém o método das diferenças duplas (criado entre 206 a.C. e 24 d.C.) que é utilizado no cálculo de distâncias usando a diferença entre duas observações. O primeiro problema envolve a altura de uma ilha (x)  e a sua distância ao primeiro poste (y)  como mostra a ilustração 11. Da figura são conhecidas as alturas dos dois postes (h) , a distância entre eles (d) , a distância entre o 1º poste e a posição que se tem que recuar para ver o topo da ilha (a₁) e a distância entre o 2º poste e a posição que se tem que recuar para ver o topo da ilha (a₂) .

Determinação da altura da ilha

Usando estes dados, Liu Hui aplicou o método das diferenças duplas e descobriu as seguintes fórmulas:

 Este método foi usado noutros problemas, nomeadamente na topografia, para medir a “altura do Sol”. Este processo mostra a tentativa da inclusão da Álgebra na China, contudo só aconteceu no séc. XIII.

Chao Chung Ching e o comentário ao Teorema de Gougu

“O imperador Yu domina inundações, aprofunda rios e correntes, observa a forma das montanhas e vales, contempla lugares altos e baixos, alivia as maiores calamidades e salva as pessoas do perigo […]. Isto é possível pelo Teorema de Gougu”.

        Este teorema originou 21 teoremas com ilustrações, infelizmente quase todos foram perdidos. O “diagrama sobre a hipotenusa é um dos sobreviventes (Ilustração seguinte).

Diagrama sobre a hipotenusa

Ilustração de Chau Pei para o teorema de Kou Ku 

 Chao Ching conseguiu deduzir uma fórmula interessante para os catetos a e b , usando a hipotenusa, a adição e a subtração entre a eb , com a < b . Observando o diagrama podemos afirmar que a área do quadrado exterior, de lado a + b , é igual à adição da área do quadrado de lado c  com a área de 4 triângulos de catetos a e b , ou seja,

Fórmulas semelhantes a estas eram aplicadas constantemente pela civilização Babilónica no cálculo de áreas.

Nove Secções da Arte dos Números e a Teoria Dos Números

         Sun Tsu, 100 anos d. C. escreveu um manual de matemática, composto por três livros, onde definiu medidas para o comprimento, área e volume, para o peso de vários objetos; utilizou métodos iguais aos de hoje para somar duas frações (regra da cruz); descreveu um algoritmo para obter a raiz quadrada e construiu um calendário que levantou alguns problemas relacionados com a congruência de números, o que o levou à criação de um dos mais famosos teoremas na Teoria dos Números, o Teorema Chinês dos Restos.

           Mais tarde, Ch’in Chiu-Shao cria a obra Nove Secções da Arte dos Números (em 1247) que consistiu num melhoramento das obras Nove Capítulos e no Manual da Ilha do Mar. A obra apresenta problemas que envolvem o cálculo de figuras geométricas reais; problemas que envolvem uma fórmula semelhante à de Herão para calcular a área de figuras; problemas de trigonometria; contém progressões aritméticas/geométricas, equações de grau superior a dois que envolvem o método de Horner ou Regra de Ruffini; mas as suas maiores inovações aparecem na resolução de equações determinadas, usando o método do elemento celestial e na resolução de equações indeterminadas onde descreve detalhadamente o método chinês. Seguidamente vai ser exposto o método chinês utilizado num dos 81 problemas da sua obra.

        Teoria dos Números também foi estudada por Diofanto de Alexandria (275 anos d.C.), por Fibonacci (1202 anos d.C.) e atingiu o apogeu com Euler (em 1801) e Gauss (em 1801).

Comentário de Yang Hui à obra Nove Capítulos

Método de Yang Hui

Anéis, formas, dragões e tartarugas

     Todas as civilizações, para se divertirem e ocuparem o tempo, tinham vários jogos e passatempos, que utilizavam a matemática. Na China, existiam vários puzzles, um deles era os nove anéis ligados, que consistia na separação de nove anéis todos ligados entre si. Para resolver este puzzle era necessário saber um pouco sobre números binários.

      Outro puzzle que envolvia formas geométricas é o famoso Tangram. O yizhitu é uma variante do Tangram e contém 15 peças. Este puzzle tem uma grande utilidade pois ensina relações importantes entre as áreas de figuras planas.

       Uma famosa lenda chinesa diz que o imperador Yu tinha na sua posse dois diagramas muito especiais. Estes foram trazidos até ele por dois animais, um dragão-cavalo (Ho Thu) e uma tartaruga (Lo shu). Nas costas de ambos encontravam-se os desenhos da ilustração 13 e como podemos ver, um deles trata-se de um quadrado mágico 3 por 3 onde a soma dá 15. Os chineses tinham um grande fascínio por quadrados mágicos, estes quadrados foram primeiramente observados por árabes mas é aos chineses que se deve a construção da teoria sobre quadrados mágicos.

Questionário  (Historia da China)

Escola: ________________________________________________________

 Nome: ______________________________________________ Nº _______

Ano: _______   Turma: ______   Turno: __________   Data ____ /____ /_____

1 – Segundo a China era  importante educar e construir um pais com grande desenvolvimento. Quais são as bases para esse crescimento?

2 – Os chineses em 1500 a.C. tinham uma sistema numérico com quantas caracteres posicionais? E o nosso quantos tem ? e quais são esses caracteres?

3 – Qual era a área de maior interesse para os chineses?

4 – Podemos dizer que a China era considerada atrasada para a sua época (justifique sua resposta)

5 – Escreva o que você achou sobre a história da China (mínimo 5 linhas)