MATEMÁTICA FINANCEIRA
PROFESSOR MARCOS SANTANA
MACEIÓ – AL, 16 DE AGOSTO DE 2015
2/6 = 5/15 = 8/24 = 10/30, temos que 2/6 = 1/3 , 5/15= 1/3, 8/24 = 1/3 e
Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3.
Calcular 10% de 300.
Calcular 25% de 200kg.
25% x 200 = 0,25 x 200 = 50
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda.
Preço de custo – prejuízo = preço de venda.
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:
a) o lucro obtido na transação;
b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
a) Lucro = 800 – 500 
Lucro = R$ 300,00
b) LC = 300/500 = 0,60 = 60%
c) LV = 300/800 = 0,375 = 37,5%
1 - Uma mercadoria foi comprada por R$ 600,00 e vendida por R$ 400,00. Pede-se:
a) o prejuízo obtido na transação;
b) a porcentagem de prejuízo sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda.
1 - Comprou-se um objeto por R$ 800,00 para revendê-lo com os descontos sucessivos de 10% e 5%. Desejando-se ganhar 20% sobre o custo, qual o preço de venda?
1 - Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% +20%+10%. Pergunta-se:
Sumário
- Introdução.........................................................................................08
- Números proporcionais.....................................................................10
- Números diretamente proporcionais.................................................10
- Números inversamente proporcionais...............................................10
- Exercício resolvido............................................................................10
- Lista 1 (números proporcionais)........................................................12
- Porcentagem......................................................................................13
- Porcentagem de uma quantia.............................................................13
- Taxa percentual..................................................................................14
- Ponto percentual.................................................................................14
- A porcentagem na literatura de cordel...............................................15
- Lista 2 (porcentagem)........................................................................16
- Lista 3 (complementar 1)...................................................................17
- Lucro e prejuízo.................................................................................17
- Resolução de Exercícios (lucro e prejuízo).......................................19
- Lista 4 (lucro e prejuízo)...................................................................21
- Aumentos e descontos sucessivos......................................................22
- Exercício resolvido............................................................................22
- Lista 5 (Aumentos e descontos sucessivos)........................................23
- Referências.........................................................................................25
Carta
de Apresentação
A matemática está
presente em nossas vidas, desde numa simples contagem, até na hora de definir
se uma compra deve ser paga à vista ou a prazo, no uso em complexos
computadores, no sobe e desce da bolsa de valores, nos índices de pobreza e
riqueza de um país...
Mas, apesar de ela estar presente em tantos momentos importantes da sua
vida e da humanidade, pode parecer, a princípio, que alguns temas da matemática
não têm aplicação imediata no mundo em que vivemos. Isso pode gerar em você um
certo desapontamento.
Na verdade, a aplicação da matemática no cotidiano ocorre como resultado
do desenvolvimento e do aprofundamento de certos conceitos nela presentes.
Como em todas as áreas de estudo, para entender a matemática e suas
aplicações são necessários dedicação e estudo. Por esse motivo, ao escrever
esta coleção, procuramos apresentar a você as linhas mestras desse
processo em linguagem simples, sem fugir ao rigor que a matemática exige.
Ficar de fora desse processo, ficar à parte do conhecimento matemático
é, hoje, estar à margem das mudanças do mundo.
PLANO DE DISCIPLINA
Disciplina: Matemática
financeira
Professores: Marcos
Santana de Lira
Carga Horária: 30h
EMENTA:
Números proporcionais, Porcentagem, Lucro, desconto, aumentos e
descontos sucessivos.
Objetivo Geral
Correlacionar
o conceito fundamental da Matemática Financeira com os demais tópicos da
Matemática da Educação Básica, bem como com o cotidiano das pessoas e outras
áreas do conhecimento. Usar, adequadamente, tecnologias como calculadoras, e planilhas
(excel), como recurso auxiliar na interpretação dos problemas que se apresentam
na Matemática Financeira.
Objetivos Específicos:
· Identificar
na matemática financeira a possibilidade de descrever conhecimentos ligados
diretamente ao dia-a-dia do mundo comercial e às relações entre capital e
trabalho.
· Relacionar
os conhecimentos sobre porcentagem, lucro, prejuízo, acréscimo e juros às
situações problemas do dia-a-dia.
· Tomar
decisões diante de situações-problemas, baseado na interpretação das
informações de textos, e nos conhecimentos sobre a Matemática financeira.
· Analisar
fenômenos de diferentes naturezas sobre a Matemática financeira.
CONTEÚDOS:
1.
Números proporcionais
1.1. Números
diretamente proporcionais
1.2. Números
inversamente proporcionais
2.
Porcentagem
2.1. Taxa
percentual
2.2. Ponto
percentual
2.3. Lucro e
desconto
2.4. Aumentos e
descontos sucessivos
Metodologia
de ensino
Quadro 2 –
Atividades Propostas
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Atividades
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Ferramenta
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Papel do aluno
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Atividade 1
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Exercícios
realizados e participação
|
O aluno deverá realizar todas as atividades (listas de exercícios)
propostas pelo professor no prazo estabelecido pelo o professor, e participar
das aulas ( por exemplo: ajudando seus colegas). Levando em conta o seu
comportamento em sala de aula.
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Atividade 2
|
Trabalho
individual
|
Aluno deverá realizar uma pesquisa sobre a economia do Brasil e do
mundo.
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Atividades 3
|
Trabalho
em dupla
|
Trabalho
de pesquisa, o aluno deverá realizar uma pesquisa em dupla, sobre Infopen (Levantamento Nacional de Informações Penitenciárias) do estado de
Alagoas, e entregar ao professor na data estabelecida pelo o professor. A
partir dessas informações dividir a turma em dois grupo para realizar um debate
de perguntas e respostas em sala de aula.
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Atividades 4
|
Seminário
|
O Tema da pesquisa é a História da Matemática Financeira.
O principal objetivo desse trabalho e mostra aonde surgiu e por que? E sua contribuição na formação das
civilizações.
Os alunos deverão de organizar em grupo para se apresenta na ordem e
data por sorteio realizado pelo professor em sala de aula, levando em conta
também a pontualidade de cada equipe.
|
Atividade 5
|
Avaliação
individual
|
Serão avaliados todos os assuntos abordados nesse módulo.
|
A carga horária do
curso será distribuída conforme ao quadro abaixo:
Quadro
2 - Carga horária - 30 H
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4 aulas
|
Números
proporcionais
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2 aulas
|
Debate
|
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4 aulas
|
Porcentagem
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4 aulas
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Revisão
e correção de exercícios
|
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4 aulas
|
Lucro
e Prejuízo
|
2 aulas
|
Prova
|
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4 aulas
|
Aumentos e descontos sucessivos
|
2 aulas
|
Resultado
e aula para orientação de reposição de nota
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2 aulas
|
Seminário
|
2 aulas
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Reposição
de notas
|
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Avaliação
Avaliar o processo de
ensino e aprendizagem por meio de ferramentas diversas que incluam uma série de
observações diretas do aluno, provas e testes, participação, comportamento, trabalhos
e tarefas, além da frequência do aluno.
Quadro 3 –
Composição de notas
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Atividades
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Ferramenta
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Critérios de avaliação
|
Pontuação.
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Atividade 1
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Exercícios
(listas de exercícios) realizados e participação
|
Os
exercícios realizados terão conceitos: Muito Bom, Bom, Regular, suficiente,
insuficiente e não fez. Mais a participação em sala de aula levando em conta
também o comportamento em sala de aula.
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0 - 2
|
Atividade 2
|
Trabalho
individual
|
Deverá
ser avaliada a estrutura do trabalho. (capa, contra capa, introdução,
desenvolvimento, conclusão e referencias)
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0 - 2
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Atividades 3
|
Trabalho
em dupla
|
Deverá
ser avaliada a estrutura do trabalho que tem peso 2, e o debate em sala de
aula com peso 3.
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0 - 2
|
Atividades 4
|
Seminário
|
Esse
trabalho deve ser feito em grupo no máximo de 5 alunos. Que terá três pesos
distintos são eles: Estrutura do trabalho (peso 1), apresentação do grupo
(peso 2) e apresentação do individual (peso 3).
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0 - 2
|
Atividade 5
|
Avaliação
individual
|
O
Aluno irá fazer uma avaliação com 20 questões de múltiplas escolhas com 5
alternativa contendo apenas uma correta.
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0 - 2
|
MATEMÁTICA
FINANCEIRA
INTRODUÇÃO
Matemática Financeira: É a
disciplina que estuda o quanto vale o dinheiro ao longo do tempo. É o
instrumento usado para avaliar e regular as
operações à prazo
e nos permite
comparar valores monetários ao
longo do tempo.
Por que estudar Matemática
Financeira?
Para responder dúvidas frequentes do nosso dia-a-dia:
•
Comprar à vista ou em 3
vezes iguais?
•
Quanto poupar por mês,
durante quantos meses, para comprar algo no futuro?
•
Mesmo produto com
diferentes condições de pagamento. Qual a melhor opção?
Segundo Marcos Noé (Graduado
em Matemática)
A Matemática
Financeira possui
diversas aplicações no atual sistema econômico. Algumas situações estão
presentes no cotidiano das pessoas, como financiamentos de casa e carros,
realizações de empréstimos, compras a crediário ou com cartão de crédito,
aplicações financeiras, investimentos em bolsas de valores, entre outras
situações. Todas as movimentações financeiras são baseadas na estipulação
prévia de taxas de juros. Ao realizarmos um empréstimo a forma de pagamento é
feita através de prestações mensais acrescidas de juros, isto é, o valor de
quitação do empréstimo é superior ao valor inicial do empréstimo. A essa
diferença damos o nome de juros.
O
conceito de juros surgiu no momento em que o homem percebeu a existência de uma
afinidade entre o dinheiro e o tempo. As situações de acúmulo de capital e
desvalorização monetária davam a ideia de juros, pois isso acontecia em razão
do valor momentâneo do dinheiro. Algumas tábuas matemáticas se caracterizavam
pela organização dos dados e textos relatavam o uso e a repartição de insumos
agrícolas através de operações matemáticas. Os sumérios registravam documentos
em tábuas, como faturas, recibos, notas promissórias, operações de crédito,
juros simples e compostos, hipotecas, escrituras de vendas e endossos.
Essas
tábuas retratavam documentos de empresas comerciais e algumas eram utilizadas
como ferramentas auxiliares nos assuntos relacionados ao sistema de peso e
medida. Havia tábuas para a multiplicação, inversos multiplicativos, quadrados,
cubos e exponenciais. As exponenciais com certeza estavam diretamente ligadas
aos cálculos relacionados a juros compostos; e as de inverso eram utilizadas na
redução da divisão para a multiplicação.
Tábua
que relatava o sistema de escrita dos sumérios
Nessa época os juros eram
pagos pelo uso de sementes e de outros bens emprestados, os agricultores
realizavam transações comerciais com as quais adquiriam sementes para as suas
plantações. Após a colheita, os agricultores realizavam o pagamento através de sementes
com a seguida quantidade proveniente dos juros do empréstimo. A forma de
pagamento dos juros foi modificada para suprir as
exigências atuais. No caso dos agricultores, era lógico que o pagamento seria
feito na colheita seguinte. A relação tempo/ juros foi se ajustando de acordo
com a necessidade de cada época. Atualmente, nas transações de empréstimos, o
tempo é preestabelecido pelas partes negociantes.
NÚMEROS PROPORCIONAIS
NÚMEROS DIRETAMENTE
PROPORCIONAIS
Podemos dizer que os números reais não
nulos a,b,c,d,...,n são diretamente proporcionais aos números
a’,b’,c’,d’,...n’, nessa ordem, se e somente se:
a/a’ = b/b’ = c/’c = d/d’ = ... = n/n’
= k
ou
(a+b+c+d+...+n) / (a’+b’+c’+d’+...+n’)
= k
NÚMEROS
INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
Podemos dizer que os números reais não
nulos a,b,c,d,...,n são Inversamente proporcionais aos números reais
a’,b’,c’,d’,...n’, nessa ordem, quando são proporcionais ao números 1/a’ , 1/b’
, 1/c’ , 1/d’ , ... , 1/n’. Ou seja:
a/(1/a’) = b/(1/b’) = c/(1/’c) =
d/(1/d’) = ... = n/(1/n’) = k
ou
a.a’ = b.b’ = c.c’ = d.d’ = … = n.n’ =
k
K é chamada de coeficiente de
proporcionalidade.
EXERCÍCIO
RESOLVIDO
Exemplo
1
Vamos verificar se os
números 2, 5, 8 e 10 são diretamente proporcionais aos números 6, 15, 24 e 30
respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as razões.
2/6 = 5/15 = 8/24 = 10/30, temos que 2/6 = 1/3 , 5/15= 1/3, 8/24 = 1/3 e
10/30=
1/3
Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3.
Exemplo
2
Vamos verificar se os
números 15, 20 e 35 são diretamente proporcionais aos números 12, 16 e 21
respectivamente. Para isso, vamos aplicar a regra da igualdade entre as razões.
15/12 =
20/16 = 35/21 , temos que 15/12 = 5/4 , 20/16= 5/4 e 35/21 = 5/3, logo
15/12 =
20/16 = 35/21 é falso. Portanto 15, 20 e 35 não são proporcionais a 12, 16 e
21.
Vamos verificar se os
números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 10, 5. Para que
eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do exemplo 3.
2/(1/20) = 4/(1/10)=8/(1/5), temos que
2/(1/20) = 2. 20 = 40
4/(1/10) = 4 . 10 = 40
8/(1/5) = 8. 5 = 40
Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo
coeficiente de proporcionalidade que é 40.
Exemplo 3
Analise a seguinte situação:
Três sócios tiveram a seguinte participação em um negócio: o
primeiro investiu R$ 5000,00, o segundo R$ 4000,00 e o terceiro R$ 2000,00. No
final de certo período foi apurado um lucro de R$ 3300,00. Como deve ser
repartido esse lucro?
Em caso assim, o lucro deve ser repartido de forma proporcional à
quantia que cada um investiu.
Resolução:
1° sócio x vai receber x/5000
2º sócio y vai receber
y/4000
3° sócio z vai receber
z/2000
x/5000 = y/4000 = z/2000 = (x+y+z)/(5000+4000+2000) = 3300/11000 =
3/10
3/10 é
chamada de coeficiente de proporcionalidade, ou seja.
1° sócio x vai receber x/5000 = 3/10 => 10x = 15000 => x =
1500. Resp. R$ 1500,00
2º sócio y vai receber
y/4000 = 3/10 => 10y = 12000
=> y = 1200. Resp. R$ 1200,00
3° sócio z vai receber
z/2000 = 3/10 =>=> 10z = 6000 => z = 600. . Resp. R$ 600,00
Lista 1 ( Números proporcionais)
1
- Divida 357 em partes diretamente proporcionais a 1, 7 e 13.
2
- Divida 1650 em partes diretamente proporcionais a 1, 3, 4 e 7.
3-
Divida 45 em partes inversamente proporcionais a 3, 4 e 6.
4
- Dividir 1200 em partes proporcionais a 1, 2 e 3.
5
- Dividir o número 1800 em partes inversamente proporcionais a 1,
3/2 e 2/5.
6 –
A gerência da Concessionária de Automóveis XYZ resolveu distribuir prêmios num
total de R$ 180.000,00 para os três vendedores que tiveram o melhor desempenho
durante o trimestre passado. O critério adotado foi premiar aqueles que tenham
vendido a maior quantidade de certo modelo de automóveis. Os vendedores
selecionados foram os que venderam 20, 9 e 7 automóveis. Quanto recebeu cada
vendedor?
7 –
Durante o período da ouvidoria, a gerência de contas correntes de uma empresa
resolveu distribuir prêmios num total de R$ 100.000,00 para os três empregados
da área de processamento de contas que tiveram o melhor desempenho durante o
ano passado (objeto da ouvidoria). O critério adotado foi premiar
proporcionalmente aqueles que tiveram a menor quantidade de erros no
processamento das contas (supondo que os 14 empregados da área processaram a
mesma quantidade de contas). Os empregados selecionados foram os que tiveram 2,
4 e 7 erros durante o ano. Quanto recebeu cada empregado?
8 -
As demissões de três homens (X, Y e Z) implicaram o pagamento de uma verba
rescisória na importância total de R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por
eles, de modo que fossem diretamente proporcionais ao número de meses
trabalhados. Quanto deve receber cada um desses três homens (X, Y, Z), se
respectivamente trabalharam 50, 70 e 60 meses?
9 – Considere o problema
seguinte:
Dividir R$
448,00 entre duas crianças, uma com 7 anos e a outra com 9 anos. Cada uma delas
deverá receber uma quantia diretamente proporcional à sua respectiva idade.
10 - O Sr. Lopes e o Sr. Garcia são parceiros. Lopes investiu
inicialmente R$ 22.000,00 e Garcia investiu inicialmente R$ 48.000,00 para
montarem um negócio. Eles combinam dividir os lucros, que totalizaram R$
89.600,00 no primeiro semestre de atividade, em proporção aos seus
investimentos iniciais. Que parte do lucro total do negócio receberá cada um
deles?
PORCENTAGEM
É frequente o uso de
expressões que refletem acréscimos ou reduções em preços, números ou
quantidades, sempre tomando por base 100 unidades. Alguns exemplos:
- A gasolina
teve um aumento de 15%
Significa que em cada R$100 houve um acréscimo de R$15,00 - O cliente
recebeu um desconto de 10% em todas as mercadorias.
Significa que em cada R$100 foi dado um desconto de R$10,00 - Dos
jogadores que jogam no Grêmio, 90% são craques.
Significa que em cada 100 jogadores que jogam no Grêmio, 90 são craques.
Porcentagem
é uma forma usada para indicar uma fração de denominador 100 ou qualquer
representação equivalente a ela. Veja os exemplos:
1 – 50% é o mesmo que
50/100 ou 1/2 ou 0,50 ou 0,5 (metade)
2 – 75 % é o mesmo que
75/100 ou 3/4 ou 0,75
3 – 9 % é o mesmo que
9/100 ou 0,09
4 – 0,4 é o mesmo que 0,40
ou 40/100 ou 40%
5 – 6/100 é o mesmo que
3/20 ou 15/100 ou 15%
6 – 8 pessoas em um grupo
de 10 correspondem a 8/10 ou 80/100 ou 80% do grupo.
7 – Num total de R$
300,00, a quantia de R$ 21,00 equivale
21/300 ou 7/100 ou 7% do total.
PORCENTAGEM
DE UMA QUANTIA.
Exemplos:
10% x 300 = 0,1 x 300 = 30
25% x 200 = 0,25 x 200 = 50
PONTO PERCENTUAL: NÃO
CONFUNDA COM PORCENTAGEM
Ao
ouvir o noticiário, você escuta: "a taxa de juros diminuiu 0,5 ponto
percentuais". O que significa isso? Já de antemão, um aviso: engana-se
quem pensa que os juros diminuíram 5%.
Antes
de mais nada, é bom relembrar como funciona a porcentagem.
Se
certo produto valia R$100,00 e teve um aumento de 5% (lê-se 5 por cento), qual
o seu novo preço?
Cinco
por cento significa: 5/100
Ou
seja, para cada 100 unidades, houve um aumento de 5.
Então
o novo preço desse produto é de R$105,00.
Se
o seu valor fosse de R$200,00, o aumento seria de R$10,00, ou seja: 5/100=x/200
Lê-se
5 está para 100 assim como x está para 200.
Multiplicando-se
em cruz: 200 . 5 = 100 . x com x = 10
Mas
e o tal do ponto percentual?
Se
a taxa de juros de um mês estava em 20% e aumentou em 1%, de quanto será a nova
taxa? Pense antes de responder (a dica: 21% não é a resposta certa).
Vamos
calcular 1% de 20:
Um
crescimento de 1% sobre uma taxa que era de 20% implica numa nova taxa de
20,2%.
É
que 1% de 20% é 0,2%.
Agora
se a taxa de juros de 20% tivesse crescido em 1 ponto percentual, a nova taxa,
dessa vez sim, seria de 21%.
O
ponto percentual, portanto, é mais simples de calcular: uma taxa de 30% que
cresce em 5 pontos percentuais passa para 35%. É a relação direta sobre a
porcentagem. Agora se cresceu em 5% (cinco por cento), é necessário fazer o
cálculo de porcentagem.
Esteja atento para não confundir “%” com “pontos percentuais”.
Se um candidato subiu de uma pesquisa para outra de 10% para 20% das intenções
de voto, ele não subiu 10%; ele subiu 10 pontos percentuais, que no caso
equivalem a 100% (pois ele conquistou o dobro de eleitores de uma pesquisa para
outra). Porcentagens são comumente usadas para mascarar problemas ou
engrandecer resultados. Não se trata de mentira, mas de formas diferentes de
passar a mesma informação. Por exemplo: uma emissora de TV teve sua audiência
média diária aumentada de 1,0% para 1,6%. Em vez de divulgar que sua audiência
cresceu 0,6 ponto percentual, a emissora prefere informar que sua audiência
cresceu 60%, o que causa muito mais impacto!
A PORCENTAGEM NA LITERATURA DE CORDEL
O SABICHANO
Percentagem
Eu vou contar uma história
De um gato sabichão
Era dono de um venda
E tinha tudo na mão
Sabia como lucrar
A venda de cada pão
Se um pão é dez centavos
Ele queria ganhar
No pão cinquenta por cento
Ia logo calcular
E 50 vezes 10
Cinco centavos é que dar
Pois pra ele calcular
Era só ter atenção
Bastava multiplicar
O valor que tem na mão
Daquele percentual
Que pedia a questão
E toda vez que fazia
Sua multiplicação
Tinha que cortar dois
zeros
Para da certo a questão
Senão ficava errado
Aquela operação
O gato todo orgulhoso
Vivia a se gabar
Porque era o mais sábio
Que tinha neste lugar
Todos iam atrás dele
Para a conta calcular
Lista
2 ( Porcentagem )
1 – Represente as porcentagens na forma
de razões:
a)
67% b) 100% c)
7% d) 8,9% e) 9,9%
2 – Represente as porcentagens na forma
decimal
a) 67% b)
100% c)
7% d) 8,9% e) 9,9%
3 – Escreva sob a forma de porcentagem
os seguintes números:
a) 0,34 b)
0,09 c) 3 d)
0,5 e)1,2
4 – Calcule as porcentagens indicadas.
a) 40% de R$ 80,00
b) 25% de R$ 20,00
c) 7% de R$ 300,00
d) 10% de R$ 460,00
e) 20% de R$ 150,00
5 – Uma família tem rendimento mensal
de R$ 2100,00. Determine quanto essa família gasta em cada um dos itens.
E quanto sobrou?
a) 26% em alimentos
b) 25% em aluguel
c) 18% em transporte
d) 12% em saúde
Lista 3 (complementar 1)
1 – Descreva o procedimento numérico
usado pelo gato para calcular o quanto ele iria ganhar em cada pão, conforme o
texto (o sabichano –
percentagem)
2 –
Conforme o quadrinho porcentagem e juros. Qual é o valor que o sobrinho iria
pagar a ela, se ele comprometer a pagar, o valor da taxa proposta pela sua avó
em uma única parcela?
3 – O que é juros?
4 - É possível alugar o dinheiro?
5 - Porque
surgiu o dinheiro?
Lucro e
prejuízo
Todo comerciante compra uma certa mercadoria
por um determinado preço, que é chamado de preço de custo, e em seguida, efetua
a revenda do mesmo com lucro ou prejuízo, dependendo do preço que a mercadoria
foi passada ao mercado consumidor.
Em problemas envolvendo porcentagem sobre
compra e venda de mercadorias, temos os seguintes casos distintos:
» porcentagem (%) sobre venda
» porcentagem (%) sobre custo
E porque ter noção desta distinção? Ela se
torna muito importante na resolução de problemas envolvendo dinheiro.
* Porcentagem sobre o preço de custo
Quando o cálculo sobre o preço de lucro (ou
prejuízo) é calculado, em bases percentuais, em cima do preço de custo do
produto adquirido, temos o que é chamado de porcentagem sobre o custo.
Este é o processo normal, e que é usado e
adotado no mercado comercial.
Desta forma, se um comerciante ou pessoa
física, compra um determinado produto por um valor de R$ 200,00 (preço de
custo) e este for ser revendido com um lucro de 30%, isto quer dizer que nesta
operação o lucro em espécie da operação é de R$ 60,00 (lucro)
Lucro
Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.
Lucro = preço de venda – preço de custo.
Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.
Assim, podemos escrever:
Preço de custo + lucro = preço de venda.
Preço de custo – prejuízo = preço de venda.
Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:
Observação – A mesma análise pode
ser feita para o caso de prejuízo.
Exemplo
Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00. Pede-se:
a) o lucro obtido na transação;
b) a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.
Resolução
a) Lucro = 800 – 500 Lucro = R$ 300,00
b) LC = 300/500 = 0,60 = 60%
c) LV = 300/800 = 0,375 = 37,5%
Resolução de
Exercícios para fixar conteúdo sobre
LUCRO E PREJUÍZO
1 - Qual o preço
que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 700,00, para se ter
um lucro final de 15%?
Solução:
Devemos calcular
quanto vale 15% de R$ 700,00 (corresponde 100%), logo temos que 100% + 15%, ou
seja, 115% de R$ 700,00.
115% . R$
700,00 = 1,15 . 700 = 805
O valor do produto
será de R% 805,00
2 - Qual o preço
que é possível vender um produto que teve seu custo de R$ 300,00, para se ter
um lucro final de 50%?
Solução:
100% + 50% = 150%
Devemos calcular
150% de R$ 300,00
150% . R$ 300,00 =
1,5 . 300 = 450
O valor do produto
será de R$ 450,00
3 - Uma pessoa
vendeu um automóvel pelo valor de R$ 25.000,00, ganhando o valor de 20% (vinte
por cento) sobre o custo. Qual foi o lucro desta pessoa nesta operação?
Solução:
O valor de R$
25.000,00 corresponde 100% + 20% = valor do custo + lucro = 120%
Usando a regra de três, iremos chamar o lucro de L
R$ %
25000 120
L 20
120 L = 25000 . 20
120 L = 50000
L = 500000/120
L = 4.166,67 (aproximado)
O lucro da
operação foi de R$ 4.166,67
4 - Uma geladeira
foi vendida com um lucro final de 35%. Calcule o valor da venda, sabendo que o
lucro na operação foi de R$ 250,00.
Solução:
100% + 35% =
valor do custo + lucro = 135%, usando a regra de três temos
R$ %
250
---------- 35%
(lucro da operação)
X
---------- 135% (venda da operação)
X = 135 . 250
35
X = 33.750 / 35 =
R$ 964,29 (valor arredondado)
O valor da venda
foi de R$ 964,29
5 - Uma pessoa
vendeu um aparelho de som que custou R$ 1.200,00 com 40% de prejuízo sobre o
custo. Qual foi o prejuízo desta operação??
Solução:
1.200
----- 100% (custo da operação)
X
----- 40% (prejuízo da operação)
X = 1.200 . 40
100
X = 48000 / 100 = R$ 480,00
O prejuízo desta operação
foi de R$ 480,00.
Lista
4 (lucro e prejuízo)
1 - Uma mercadoria foi comprada por R$ 600,00 e vendida por R$ 400,00. Pede-se:
a) o prejuízo obtido na transação;
b) a porcentagem de prejuízo sobre o preço de custo;
c) a porcentagem de prejuízo sobre o preço de venda.
02. O
preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de
15% sobre o preço de custo deste bem. Qual é o
valor do preço de custo?
03. Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido
por R$ 60,00. De quanto por cento foi o prejuízo?
04. Um produto custou R$ 10,00 e foi vendido por
R$ 12,00. De quanto por cento foi o lucro?
05. Um produto comprado por R$ 4,00 é vendido por
R$ 6,00. De quanto foi o lucro percentual?
06
- Um objeto comprado por R$ 40,00 é vendido por 20% abaixo do custo. De quanto
é o prejuízo?
07. Um investidor comprou uma casa por R$
50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$
120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?
08. Um negociante ganhou sobre o custo de 32
metros de mercadorias 16% ou R$ 6,40. Qual o custo de cada metro?
09.
Um negociante ganhou neste ano R$ 1.980,00 de
lucro, isto é, 20% mais do que no ano anterior. Qual foi o seu lucro no ano
anterior?
10.
Um objeto custou R$ 4,50 e foi vendido por R$ 9,0. Qual o percentual de lucro?
Aumentos e
descontos sucessivos
Aumentos
sucessivos:
I final =
(1+i1)(1+i2)(1+i3)...
Cuidados:
1ª O i
utilizado na fórmula é o número decimal do índice percentual.
Exemplo: 2% =
0,02 ( forma decimal)
2ª O resultado
encontrado está na forma decimal , por isso devemos multiplicar o resultado por
100 , após a multiplicação por 100 o resultado estará na forma percentual.
Descontos
sucessivos:
I final =
(1-i1)(1-i2)(1-i3)...
1ª O i
utilizado na fórmula é o número decimal do índice percentual.
Exemplo: 2% =
0,02 ( forma decimal)
2ª O resultado
encontrado está na forma decimal , por isso devemos multiplicar o resultado por
100 , após a multiplicação por 100 o resultado estará na forma percentual.
Exercício
resolvido
1 - Comprou-se um objeto por R$ 800,00 para revendê-lo com os descontos sucessivos de 10% e 5%. Desejando-se ganhar 20% sobre o custo, qual o preço de venda?
Solução:
No problema, o preço
líquido do objeto deve ser do custo mais 20% de lucro: 100% + 20% = 120% = 1,2
Portanto: 1,2 x 800 =
R$ 960,00
10% = 0,1
L = P (1 - i ).(1 - i
)
960 = P ( 1 - 0,1 ) .
( 1- 0,05)
960 = P ( 0,9 x 0,95)
960 = 0,855 P
P = 960 ÷ 0,855
P = R$ 1.122,80
2 - Uma mercadoria
custa R$ 5.000,00 e foi vendida com os aumentos sucessivos de 15%, 12% e 10%.
Qual foi o último preço de venda?
Solução:
15% = 0,15
12% = 0,12
10% = 0,1
(1,15) x (1,12) x
(1,1) x 5000 = 7084
O último preço de
venda é R$ 7.084,00
3 - fazer dois aumentos sucessivos de 10% é o mesmo que fazer apenas um aumento de 21%,
pois:
(1,1) . (1,1) X = 1,21X = (100% + 21%) X
4 - fazer dois descontos sucessivos de 10% é o mesmo que fazer apenas um desconto de 19%,
pois:
(0,9) . (0,9) X = 0,81 X = (100% - 19%) X
5 - fazer um aumento de 10%,
e em seguida um desconto de 10%,
é o mesmo que fazer apenas um
desconto de 1%, pois:
(1,1). (0,9). X = 0,99 X = (100% - 1%).X
Lista 5 (Aumentos e descontos sucessivos)
1 - Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30% +20%+10%. Pergunta-se:
a)Por quanto foi
vendida?
b)Qual o percentual
total do abatimento?
2 - Na compra de uma
mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi
R$ 273,60, pergunta-se:
a)Qual o valor da
mercadoria antes dos abatimentos?
b)Qual o percentual
total do abatimento?
3 - Um produto cujo
preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%.
Pergunta-se:
a)Qual o preço atual?
b)Qual o percentual
do aumento?
4 - O preço de um
objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$
450,12. Qual era o preço inicial?
5 - Uma mercadoria
sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de
15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria?
6 - Uma mercadoria
custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5% +2%.
Pergunta-se:
a)Por quanto foi
vendida?
b)Qual o percentual
total do abatimento?
7 - Na compra de uma
mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se o valor pago foi de
R$ 110,25, pergunta-se:
a)Qual o valor da
mercadoria antes do abatimento?
b)Qual o percentual
total do abatimento?
8 - Um produto cujo
preço era R$ 712,00,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%. Pergunta-se:
a)A que preço está
sendo vendida?
b)Qual foi o
percentual total de aumento?
9 - O preço da
gasolina foi aumentado, sucessivamente 1,5%+7,2%+4,5% passando a custar R$
1,30. Qual era o preço antes dos aumentos?
10 - Uma mercadoria
sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um desconto de
10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria?
Referências:
http://tempodematematica.blogspot.com.br/2013/10/exercicios-sobre-porcentagem-juros.html
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imagem da capa
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