História da matemática na Babilônia

História da matemática na Babilônia

A Mesopotâmia é uma região situada no Oriente Médio, no vale dos rios Eufrates e Tigre. Ela foi habitada inicialmente pelos sumérios, que desenvolveram um sistema de escrita, em torno do quarto milênio a.C., que pode ser o mais antigo da história da humanidade. Eles escreviam usando cunhas em tabulas de argila cozida, dando origem a um tipo de caracteres chamados cuneiformes.

Ao longo do tempo, esta região foi invadida por diversos grupos humanos, que absorveram a cultura local: amoritas, cassitas, elamitas, hititas, assírios, medos e persas. As antigas civilizações que habitavam a Mesopotâmia são chamadas, freqüentemente, de Babilônios.

O sistema de numeração utilizada era o sistema de agrupamento simples de base 10 para números menores do que sessenta e um sistema posicional que podia ter base 10 ou base 60 para números maiores.

Muitos processos aritméticos eram efetuados com a ajuda de tábuas: de multiplicação, de inversos multiplicativos, de quadrados e cubos e de exponenciais. As tábuas de inversos eram usadas para reduzir a divisão à multiplicação.

A geometria babilônia se relacionava com a mensuração prática. Eles deviam estar familiarizados com as regras gerais de cálculo da área do retângulo, do triângulo retângulo e do triângulo isósceles, de um trapézio retângulo e do volume de um paralelepípedo reto-retângulo e, mais geralmente, do volume de um prisma reto de base trapezoidal. Tinham também uma fórmula para calcular perímetro da circunferência que eqüivale, na nossa notação atual, a aproximar  pelo número 3 1/8  . Conheciam o volume de um tronco de cone e o de um tronco de pirâmide quadrangular regular.

Sabiam que os lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais, que um ângulo inscrito numa semi-circunferência é reto, dividiram a circunferência em 360 partes iguais e conheciam o Teorema de Pitágoras.

A marca principal de geometria é seu caráter algébrico. Os problemas mais obscuros expressos em terminologia geométrica são essencialmente problemas de álgebra não-triviais. Há problemas geométricos que levam a equações quadráticas, outros levam a sistemas de equações simultâneas e a equações cúbica.

Sua álgebra era bem desenvolvida. Não só resolviam equações quadráticas, seja pelo método equivalente ao da substituição numa fórmula geral, seja pelo método de completar quadrados, como também discutiam algumas cúbicas (grau três) e algumas biquadradas (grau quatro).

Os babilônios deram algumas aproximações interessantes de raízes quadradas de números que não são quadrados perfeitos.

  Dentre as tábuas matemáticas babilônicas encontramos a chamada Plimpton.

 Escrita aproximadamente entre 1900 e 1600 a.C.. Ela consiste de três colunas praticamente completas de caracteres que contém ternas pitagóricas; isto é números que representam a medida da hipotenusa e de um cateto de triângulos retângulos cujos três lados têm medida inteira.

Fonte: http://www.matematica.br/historia/babilonia.html

A matemática grega

A matemática grega

O gípcios e mesopotâmios, muito antes do século -VI, eram já capazes de efetuar cálculos e medidas de ordem prática com grande precisão. Foram os gregos, no entanto, que introduziram as rigorosas provas dedutivas e o encadeamento sistemático de teoremas demonstrativos que tornaram a Matemática uma ciência.

A palavra "matemática" (μαθηματική), que é de origem grega, englobava a aritmética, a geometria, a astronomia e a mecânica. Atualmente, apenas a aritmética e a geometria, as duas áreas teóricas que mais atraíram os gregos antigos, são consideradas ciências puramente matemáticas.

Alguns filósofos também eram, possivelmente, matemáticos, como Tales de Mileto (-625/-545), Pitágoras de Samos (-570/-495) e Demócrito de Abdera (c. -460); alguns matemáticos eram também sofistas[1], como Hípias de Élis (sæc. -V); outros dedicavam-se quase exclusivamente à geometria e às suas aplicações mecânicas e astronômicas, como Euclides (fl. -295), Arquimedes (-287/-212) e Apolônio de Perga (fl. -200). Diofanto de Alexandria (fl. sæc. II-III) notabilizou-se por seus estudos de álgebra.

As mais antigas evidências concretas sobre as atividades de um matemático propriamente dito referem-se a Hipócrates de Quios (c. -470/-400). Nossos conhecimentos sobre Hipócrates de Quios e outros matemáticos anteriores ao século -IV, no entanto, baseiam-se em fragmentos de suas obras e em tradições conservadas nos séculos posteriores. O mais antigo tratado matemático que chegou até nós é o Da esfera móvel, de Autólico (-360/-290), um estudo a respeito da geometria da esfera. Dos matemáticos posteriores restam-nos diversas obras de valor desigual, dentre as quais destaca-se Os Elementos, de Euclides, cuja influência persiste até hoje.

O interesse pela História da Matemática começou, também, na Grécia Antiga. Eudemo de Rodes (sæc. -IV), um dos discípulos de Aristóteles, escreveu histórias da aritmética, da geometria e da astronomia que, infelizmente, não foram conservadas. Durante o Período Grego-romano, matemáticos como Papo de Alexandria e Teon, pai da filósofa Hipatia, discutiram e comentaram a obra de seus predecessores.

          Originariamente, o sofista era um homem sábio ou conhecedor de determinada arte ou ciência. A partir de Sócrates (-469/-399) e Platão (-428/-347), no entanto, a palavra assumiu a conotação pejorativa que tem até hoje. No dicionário, sofista é "quem argumenta com sofismas". Sofisma é um argumento aparentemente válido, porém fundamentado em dados falsos e formulado propositalmente para induzir a erro; é, ainda, sinônimo de engano, logro, burla.

Fragmento de tabela com frações. Papiro P.Mich. inv. 1460, procedência desconhecida Data: início do sæc. II

Comentários

Este pequeno fragmento de 4,5 x 4,5 cm contém uma tabela de frações, provavelmente um exercício escolar. Tradução:

Quartos:

de 1, 1/4

de 2, 1/2

de 3, 1/2 [1/4]

de 4, 1

A escrita grega é uncial e a notação numérica é do tipo alfabético.

Fonte: http://greciantiga.org/img.asp?num=0718

História da matemática (introdução)

História da matemática    (introdução)

    

         A história da matemática é uma área de estudo dedicada à investigação sobre a origem das descobertas da matemática e, em uma menor extensão, à investigação dos métodos matemáticos e aos registros ou notações matemáticas do passado.
           Anteriormente à modernidade e à expansão mundial do conhecimento, os exemplos escritos de novos progressos matemáticos tornaram-se conhecidos em apenas poucas localidades. Os textos matemáticos mais arcaicos disponíveis que nos são conhecidos são o Plimpton  (matemática babilônica, cerca de 1900 a.C.) , oPapiro Matemático de Rhind (matemática egípcia, cerca de 2000-1800 a.C.) e oPapiro Matemático de Moscou (matemática egípcia, cerca de 1890 a.C.). Todos estes textos versam sobre o então chamado Teorema de Pitágoras, que parece ser o progresso matemático mais amplamente difundido depois da aritmética básica e da geometria.
         A contribuição greco-helênica refinou grandiosamente os métodos (especialmente através da introdução do raciocínio dedutivo e do rigor matemático em provas) e expandiu o tema da matemática, isto é, aquilo de que ela trata . O estudo da matemática como um tópico em si mesmo começa no século VI a.C. com os pitagóricos, os quais cunharam o termo "matemática" a partir do termo μάθημα (mathema) do grego antigo, significando, então, "tema do esclarecimento" . A matemática chinesa fez contribuições já muito cedo, incluindo o sistema de notação posicional . O sistema númerico indo-arábico e as regras para o uso de suas operações, atualmente em uso no mundo todo, foi provavelmente desenvolvido em torno do ano 1000 d.C. na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática islâmica . A matemática islâmica, por sua vez, desenvolveu e expandiu a matemática conhecida destas civilizações . Muitos textos gregos e árabes sobre matemática foram então traduzidos ao latim, o que contribuiu com o desenvolvimento da matemática na Europa medieval.
             Dos tempos antigos à Idade Média, a eclosão da criatividade matemática foi frequentemente seguida por séculos de estagnação. Começando no Renascimento, no século XVI, novos progressos da matemática, interagindo com as novas descobertas científicas, foram realizados de forma crescente, continuando assim até os dias de hoje.

            O Livro da Restauração e do Balanceamento  de nome completo Livro Compêndio sobre Cálculo por Restauração e Balanceamento (em árabe: الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة; transl.: al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala) é um livro histórico de matemáticas escrito em árabe entre 813 e 833 d.C. pelo matemático e astrônomo muçulmano al-Khwarizmi, pertencente à Casa da Sabedoria de Bagdade, capital do califado abássida nesse tempo.
            Nesta obra, al-Khwarizmi expõe os alicerces da álgebra, sendo o primeiro a estudar sistematicamente a resolução de equações lineares e quadráticas. A palavraálgebra deriva de uma das operações básicas com equações (al-ğabr) descritas neste livro. 

Escola: _________________________________________________________________

Nome: _____________________________________________________ Nº _________

Ano: _______     Turma: _______          Turno: __________       Data ____ /____ /_____

Questionário ( A história da matemática “introdução” )

1 - Qual foi a contribuição do Greco-helênica?

2 – Qual é o significado de da palavra mathema.

3 – O estudo da matemática como um tópico em si mesmo inicio em que século? E por quem?

4 – Quais são os textos mais arcaicos disponíveis que  são conhecidos?

5 – O que foi desenvolvido em torno do ano 1000 aC. Na Índia e transmitido ao Ocidente através da matemática Islâmica?

O Homem que Calculava - os 35 camelos

Donald no País da Matemágica (Completo - Dublado - 720p HD)

A história do Número 1 Totalmente Dublado

EXERCÍCIO 1 (fração)

1) indique as divisões em forma de fração:

a) 14 : 7 =
b) 18 : 8 =
c) 5 : 1 =
d) 15 : 5 =
e) 18 : 9 =
f) 64 : 8 =

2) Calcule o quociente das divisões

a) 12/3 =
b) 42/21 =
c) 8/4 =
d) 100/10 =
e) 56/7 =
f) 64/8 =

3) Em uma fração, o numerador é 5 e o denominador é 6

a) Em quantas partes o todo foi dividido?
b) Quantas partes do todo foram consideradas?

4) Escreva como se lêem as seguintes frações:

a) 5/8
b) 9/10
c) 1/5
d) 4/200
e) 7/1000
f) 6/32

5) Classifique as frações em própria, imprópria ou aparente:

a) 8/9

b) 10/10
c) 26/13
d) 10/20
e) 37/19
f) 100/400


6) Efetue as adições

a) 3/6 + 2/6 =
b) 13/7 + 1/7 =
c) 2/7+ 1/7 + 5/7 =
d) 4/10 + 1/10 + 3/10 =
e) 5/6 + 1/6 =
f) 8/6 + 6/6 =

g) 3/5 + 1/5 =


7) Efetue as subtrações:

a) 7/9 – 5/9 =
b) 9/5 -2/5 =
c) 2/3 – 1/3 =
d) 8/3 – 2/3 =
e) 5/6 – 1/6 =
f) 5/5 – 2/5 =
g) 5/7 – 2/7 =

8) Efetue as operações:

a) 5/4 + ¾ - ¼ =
b) 2/5 + 1/5 – 3/5 =
c) 8/7 – 3/7 + 1/7 =
d) 7/3 – 4/3 – 1/3 =
e) 1/8 + 9/8 -3/8=
f) 7/3 – 2/3 + 1/3 =
g) 7/5 + 2/5 – 1/5 =
h) 5/7 – 2/7 – 1/7 =


9) Efetue as adições:

a) 1/3 + 1/5 =
b) ¾ + ½ = c) 2/4 + 2/3 =
d) 2/5 + 3/10 =
e) 5/3 + 1/6 =
f) ¼ + 2/3 + ½ =
g) ½ + 1/7 + 5/7 =
h) 3/7 + 5/2 + 1/14 =
i) 4/5 + 1/3 + 7/6 =
j) 1/3 + 5/6 + ¾ =

10) efetue as subtrações

a) 5/4 – ½ =
b) 3/5 – 2/7 =
c) 8/10 – 1/5 =
d) 5/6 – 2/3 =
e) 4/3 – ½ =
f) 13/4 – 5/6 =

11) Efetue

a) 2 + 5/3 =
b) 7 + ½ =
c) 3/5 + 4 =
d) 6/7 + 1 =
e) 8 + 7/9 =
f) 5 – ¾ =

12) Calcule o valor das expressões:

a) 3/5 + ½ - 2/4 =
b) 2/3 + 5/6 – ¼ =
c) 4/5 – ½ + ¾ =
d) 5/7 – 1/3 + ½ =
e) 1/3 + ½ - ¼ =
f) ¾ - ½ + 1/3 =


13) Efetue as multiplicações

a) ½ x 8/8 =
b) 4/7 x 2/5 =
c) 5/3 x 2/7 =
d) 3/7 x 1/5 =
e) 1/8 x 1/9 =
f) 7/5 x 2/3 =

14) Efetue as multiplicações

a) 4/3 x ½ x 2/5 =
b) 1/5 x ¾ x 5/3 =
c) ½ x 3/7 x 1/5 =
d) 3/2 x 5/8 x ¼ =
e) 5/4 x 1/3 x 4/7 =

15) Efetue as multiplicações
a) 2 x 5/3 =
b) 3 x 2/5 =
c) 1/8 x 5 =
d) 6/7 x 3 =
e) 2 x 2/3 x 1/7 =
f) 2/5 x 3 x 4/8 =
g) 5 x 2/3 x 7 =

16) Efetue as divisões
a) ¾ : 2/5 =
b) 5/7 : 2/3 =
c) 4/5 : 3/7 =
d) 2/9 : 7/8 =
e) 1/6 : 5/3 =

 f) 7/8 : ¾ =


17) Efetue as divisões :

a) 5 : 2/3 =
b) 4 : 1/7 =
c) 8/9 : 5 =
d) 3/7 : 3 =
e) 7/3 : 4/7 =
f) 2/3 : ½ =

18) Calcule a raiz quadrada
a) √9/16 =
b) √1/25 =
c) √9/25 =
d) √16/49 =
e) √64/25 = 
f) √1/9 =

EXERCÍCIOS 1 (RADICIAÇÃO)

1) Descubra o número que :

a) elevado ao quadrado dá 9

b) elevado ao quadrado dá 25

c) elevado ao quadrado dá 49

d) elevado ao cubo dá 8

2) Quanto vale x ?

a) x²= 9
b) x²= 25
c) x²= 49
d) x²= 81

3) Determine a Raiz quadrada:

a) √9 =
b) √16 =
c) √25 =
d) √81 =
e) √0 =
f) √1 =
g) √64 =
h) √100 =

4) Resolva as expressões abaixo:

a) √16 + √36 =
b) √25 + √9 =
c) √49 - √4 =
d) √36- √1 =
e) √9 + √100 =
f) √4 x √9 =   

EXERCÍCIOS 1 ( PROPRIEDADES DA POTENCIAÇÃO)

1) Reduza a uma só potência

a) 4³ x 4 ²=
b) 7⁴ x 7⁵ =
c) 2⁶ x 2²=
d) 6³ x 6 =
e) 3⁷ x 3² =

f) 9³ x 9 =
g) 5 x 5² =
h) 7 x 7⁴ =

i) 6 x 6 =
j) 3 x 3 =
l) 9² x 9⁴x 9 =
m) 4 x 4² x 4 =
n) 4 x 4 x 4=
0) m⁰ x m x m³ =
p) 15 x 15³ x 15⁴x 15 =

2) Reduza a uma só potência:

a) 7² x 7⁶ =
b) 2² x 2⁴=
c) 5 x 5³ =
d) 8² x 8 =
e) 3⁰ x 3⁰ =
f) 4³ x 4 x 4² =
g) a² x a² x a² =
h) m x m x m² =
i) x⁸ . x . x =
j) m . m . m =


3) Reduza a uma só potência


a) 5⁴ : 5² =
b) 8⁷ : 8³ =
c) 9⁵ : 9² =
d) 4³ : 4² =
e) 9⁶ : 9³ =
f) 9⁵ : 9 =
g) 5⁴ : 5³ =
h) 6⁶ : 6 =
i) a⁵ : a³ =
j) m² : m =
k) x⁸ : x =
l) a⁷ : a⁶ =


5) Reduza a uma só potência:

a) 2⁵ : 2³ =
b) 7⁸ : 7³=
c) 9⁴ : 9 =
d) 5⁹ : 5³ =
e) 8⁴ : 8⁰ =
f) 7⁰ : 7⁰ =

6) Reduza a uma só potência:
a) (5⁴)²
b) (7²)⁴
c) (3²)⁵
d) (4³)²
e) (9⁴)⁴
f) (5²)⁷
g) (6³)⁵
h) (a²)³
i) (m³)⁴
j) (m³)⁴
k) (x⁵)²
l) (a³)⁰
m) (x⁵)⁰

7) Reduza a uma só potência:

a) (7²)³ =
b) (4⁴)⁵ =
c) (8³)⁵ =
d) (2⁷)³ =
e) (a²)³ =
f) (m³)⁴ =
g) (a⁴)⁴ =
h) (m²)⁷ =

EXERCÍCIOS 1 (Potenciação)

1) Em 7² = 49, responda:

a) Qual é a base?
b) Qual é o expoente?
c) Qual é a potência?

2) Escreva na forma de potência:

a) 4x4x4=
b) 5x5
c) 9x9x9x9x9=
d) 7x7x7x7
e) 2x2x2x2x2x2x2=
f) cxcxcxcxc=

3) Calcule a potência:

a) 3² =
b) 8² =
c) 2³=
d) 3³ =
e) 6³ =
f) 2⁴ =
g) 3³ =

h) 3⁵ =

i) 1⁸ =
j) 0³ =
l) 1⁹ =
m) 10² =
n) 10³ =
o) 15² =
p) 17² =
q) 30² =

4) Calcule as potências:
a)40² =
b)32² =
c)15³ =
d) 30³=
e) 11⁴ =
f) 300² =  
g) 100³ =
h) 101² =

5) Calcule as Potências:

a) 11² =
b) 20² =
c) 17² =
d) 0² =
e) 0¹ =  
f) 1⁶ =
g) 10³ =
h) 470¹ =
i) 11³ =
j) 67⁰ =
k) 1³⁰ =
l) 10⁵ =
m) 1⁵ =
n) 15³ =
o) 1² =
p) 1001⁰= 

Exercício 1 (mmc,mdc)

1 - determine o m.d.c.

a) m.d.c (9,12)
b) m.d.c.(8,20)
c) m.d.c.(10,15)
d) m.d.c.(9,12)
e) m.d.c.(10,20)
f) m.d.c.( 15,20)
g) m.d.c.(48,18)
h) m.d.c.(30,18)
i) m.d.c.(60,36)
j) m.d.c.(30,15)
l) m.d.c.(80,48)
m) m.d.c.(3,15,12)
n) m.d.c.(20,6,14)

2 - Determine o m.m.c. pelo processo da decomposição

a) m.m.c.(15,18)
b) m.m.c.(10,12)
c) m.m.c.(10,6,15)
d) m.m.c( 12,20,3)
e) m.m.c(15,3)
f) m.m.c.( 10,15)
g) m. m. c. ( 18, 30)
h) m.m.c. ( 21, 12 )
i) m.m.c. ( 35,10)
j) m.m.c. ( 25, 80)
l) m.m.c.( 140,10)
m) m.m.c ( 8,10,25)
n) m.m.c.( 3,12,32)
o) m.m.c.(2,3,5,10)
p) m.m.c. ( 18, 24, 36)

3 - Determine o m.m.c

a) m.m.c. ( 50,75)
b) m.m.c. ( 60,24)
c) m.m.c. ( 21,30)
d) m.m.c. ( 28,48)
e) m.m.c ( 2,4)
f) m.m.c. ( 7,5)
g) m.m.c. ( 9,1)
h) m.m.c.( 21,7)
i) m.m.c. ( 8,9)
j) m.m.c. ( 13,26)
l) m.m.c ( 2,4,6)
m) m.m.c. ( 3,6,9)
n) m.m.c. ( 10,12,45)
o) m.m.c ( 6,8,12,15)
p) m.m.c ( 12,18,36,40)


4 -  calcule o m.m.c.

a) m.m.c (4,6,9,15)
b) m.m.c. ( 2,10,15,45)
c) m.m.c.(8,36,28,72)
d) m.m.c( 45,96,10,180)
e) m.m.c( 20,30,48,120)
f) m.m.c( 7,2)
g) m.m.c( 8,10)
h) m.m.c ( 14,21)
i) m.m.c ( 50 ,25)
j) m.m.c ( 40 , 60 )
l) m.m.c.( 80,56)
m) m.m.c ( 2,3,4)
n) m.m.c. ( 4,6,8)
o) m.m.c. ( 6,8,12)
p) m.m.c.(4,8,16)
q) m.m.c ( 12, 18, 36)
r) m. m.c ( 12, 10, 8)
s) m.m.c ( 6,8,10,12)

5 -  Usando a decomposição em fatores primos, determine:

a) m.m.c (10,12)
b) m.m.c. ( 6,10,15)

c) m.m.c. ( 14,21,30)
d) m.m.c. ( 100, 150, 200)
e) m.m.c. (70,110)

f) m.m.c. (30, 75)
g) m.m.c. (18,60)
h) m.m.c. (21, 35,84)
i) m.m.c. ( 66, 102)
j) m.m.c. ( (90, 36, 54)
l) m.m.c. ( 48, 20, 40, 36)

Exercício 1 (NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS)

1- Classifique cada número como "primo ou composto"

a) 20
b) 21
c) 22
d) 23
e) 24
f) 25
g) 26
h) 27
i) 28
j) 29


2 - Decomponha em fatores primos os seguintes números

a) 28
b) 30
c) 32
d) 36
e) 40
f) 45
g) 60
h) 80
i) 120
j)125
l) 135
m) 250


3 - Decomponha em fatores primos os seguintes números

a) 180
b) 220
c) 320
d) 308
e) 605
f) 616
g) 1008
h) 1210
i) 2058
j) 3125
l) 4225
m) 5040

4 - Decomponha os números em fatores primos

a) 144
b) 315
c) 440
d) 312
e) 360
f) 500
g) 588
h) 680
i) 1458
j) 3150
l) 9240
m) 8450

5 -     Leia e construa.

Na antiguidade, o grego Eratóstenes (276 - 194 a.C.), da escola de Alexandria, desenvolveu um método para encontrar números primos chamado Crivo de Eratóstenes.  Utilizando esse método, vamos encontrar os números primos entre 1 e 100:

·        Marque o número 1.

·        Marque os múltiplos de 2, exceto ele próprio.

·        Marque os múltiplos de 3, exceto ele próprio.

·        Marque os múltiplos de 5, exceto ele próprio.

·        Marque os múltiplos de 7, exceto ele próprio.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
61	62	63	64	65	66	67	68	69	70
71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
81	82	83	84	85	86	87	88	89	90
91	92	93	94	95	96	97	98	99	100

Os números que não estão marcados são números primos.